Андрей Лунёв родился 13 ноября 1991 в Москве. Является воспитанником ФШМ "Торпедо". В 2010 году начал выступать за основную команду московского "Торпедо". В сезоне 2011/2012 года был отдан в аренду футбольному клубу "Истра". Летом 2013 года был арендован "Калугой". В конце 2014 стал свободным агентом. Зимой 2015 года подписал контракт с раменским "Сатурном". В сентябре 2016 года дебютировал в Премьер-лиге в составе "Уфы".
В конце 2016 года перешёл в петербургский "Зенит", где стал основным вратарём команды, выиграв конкуренцию у Юрия Лодыгина.
Дебют Лунёва за сборную России состоялся 10 октября 2017 в товарищеском матче со сборной Ирана. После ухода Игоря Акинфеева из сборной Черчесов объявил Лунёва основным вратарём команды.
В сезоне 2013/2014 чемпионата ПФЛ, когда Андрей Лунёв играл за "космонавтов" ФК "Калуга" набрал 45 очков и занял шестое место в турнирной таблице.